Метод основан на следующей формуле: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, где x = j(t) - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Доказательство. Найдем производные по переменной t от левой и правой частей формулы.
Отметим, что в левой части находится сложная функция, промежуточным аргументом которой является x = j(t). Поэтому, чтобы дифференцировать ее по t, сначала дифференцируем интеграл по x, а затем возмем производную от промежуточного аргумента по t.
(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)
Производная от правой части:
(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)
Так как эти производные равны, по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части доказываемой формулы отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. Доказано.
Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному. В применении этого метода различают методы линейной и нелинейной подстановки.
а) Метод линейной подстановки рассмотрим на примере.
Пример 1. . Пусть t = 1 – 2x, тогда
dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt
Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно. В таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала, - т.е. о неявной замене переменной .
Пример 2.
Например, найдем òcos(3x + 2)dx. По свойствам дифференциала
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогда òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.
В обоих рассмотренных примерах для нахождения интегралов была использована линейная подстановка t = kx + b (k ¹ 0).
В общем случае справедлива следующая теорема.
Теорема о линейной подстановке . Пусть F(х) - некоторая первообразная для функции f(х). Тогда òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, где k и b - некоторые постоянные, k ¹ 0.
Доказательство.
По определению интеграла òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Вынесем постоянный множитель k за знак интеграла: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Теперь можно разделить левую и правую части равенства на k и получить доказываемое утверждение с точностью до обозначения постоянного слагаемого.
Данная теорема утверждает, что если в определение интеграла ò f(x)dx = F(x) + C вместо аргумента х подставить выражение (kx + b), то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/k перед первообразной.
С использованием доказанной теоремы решим следующие примеры.
Пример 3.
Найдем . Здесь kx + b = 3 – x, т.е. k = -1, b = 3. Тогда
Пример 4.
Найдем . Здесь kx + b = 4x + 3, т.е. k = 4, b = 3. Тогда
Пример 5.
Найдем . Здесь kx + b = -2x + 7, т.е. k = -2, b = 7. Тогда
.
Пример 6. Найдем . Здесь kx + b = 2x + 0, т.е. k = 2, b = 0.
.
Сравним полученный результат с примером 8, который был решен методом разложения. Решая эту же задачу другим методом, мы получили ответ . Сравним полученные результаты: . Таким образом, эти выражения отличаются друг от друга на постоянное слагаемое , т.е. полученные ответы не противоречат друг другу.
Пример 7. Найдем . Выделим в знаменателе полный квадрат.
В некоторых случаях замена переменной не сводит интеграл непосредственно к табличному, но может упростить решение, сделав возможным применение на последующем шаге метода разложения.
Пример 8. Например, найдем . Заменим t = x + 2, тогда dt = d(x + 2) = dx. Тогда
где С = С 1 – 6 (при подстановке вместо t выражения (x + 2) вместо первых двух слагаемых получим ½x 2 -2x – 6).
Пример 9. Найдем . Пусть t = 2x + 1, тогда dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.
Подставим вместо t выражение (2x + 1), раскроем скобки и приведем подобные.
Отметим, что в процессе преобразований мы перешли к другому постоянному слагаемому, т.к. группу постоянных слагаемых в процессе преобразований можно было опустить.
б) Метод нелинейной подстановки рассмотрим на примере.
Пример 1. . Пусть t = - x 2 . Далее можно было бы выразить х через t, затем найти выражение для dx и реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но в данном случае проще поступить по-другому. Найдем dt = d(-x 2) = -2xdx. Отметим, что выражение xdx является сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла. Выразим его из полученного равенства xdx = - ½ dt. Тогда
= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2. Найдем . Пусть t = 1 - x 2 . Тогда
Пример 3. Найдем . Пусть t = . Тогда
Пример 4. В случае нелинейной подстановки также бывает удобно использовать неявную замену переменной.
Например, найдем . Запишем xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (неявно заменили переменной t = 3 - 2x 2). Тогда
Пример 5. Найдем . Здесь тоже введем переменную под знак дифференциала: (неявная замена t = 3 + 5x 3). Тогда
Пример 6. Найдем . Поскольку ,
Пример 7. Найдем . Поскольку , то
Рассмотрим несколько примеров, в которых возникает необходимость сочетать различные подстановки.
Пример 8.
Найдем . Пусть
t = 2x + 1, тогда x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.
Пример 9.
Найдем . Пусть
t = x - 2, тогда x = t + 2; dx = dt.
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.
ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t[α,β].
Тогда справедливо следующее равенство:
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).
Пример 19. Вычислить
Положим t=2-х 2 . Тогда dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx и xdx=-dt. Если х=0, то t=2-0 2 =2, и если х=1, то t=2-1 2 =1. Следовательно:
Пример 20. Вычислить
Воспользуемся заменой переменной . Тогда и . Если х=0, то t=1 и, если х=5, то t=4. Выполняя замену, получим.
Замена многочлена или. Здесь - многочлена степени, например, выражение - многочлен степени.
Допустим, у нас есть пример:
Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за? Правильно, .
Уравнение приобретает вид:
Производим обратную замену переменных:
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение:
… Что это означает? Правильно! Что решений не существует.
Таким образом, мы получили два ответа - ; .
Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:
Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.
За нужно взять.
Мы получаем выражение:
Решая квадратное уравнение, мы получаем, что имеет два корня: и.
Решением первого квадратного уравнения являются числа и
Решением второго квадратного уравнения - числа и.
Ответ : ; ; ;
Подведем итоги
Метод замены переменной имеет основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:
1. Степенная замена, когда за мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.
2. Замена многочлена, когда за мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.
3. Дробно-рациональная замена, когда за мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.
Важные советы при введении новой переменной:
1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.
2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.
3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.
Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.
Разберем 3 задачи
Ответы на 3 задачи
1. Пусть, тогда выражение приобретает вид.
Так как, то может быть как положительным, так и отрицательным.
Ответ:
2. Пусть, тогда выражение приобретает вид.
решения нет, так как.
Ответ:
3. Группировкой получаем:
Пусть, тогда выражение приобретает вид
.
Ответ:
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.
Замена переменных - это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.
Перечислю основные типы замен.
Степенная замена
Степенная замена.
Например, с помощью замены биквадратное уравнение приводится к квадратному: .
В неравенствах все аналогично.
Например, в неравенстве сделаем замену, и получим квадратное неравенство: .
Пример (реши самостоятельно):
Решение:
Это дробно-рациональное уравнение (повтори ), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение степени, поэтому применяется замена переменных.
Все станет намного проще после замены: . Тогда:
Теперь делаем обратную замену:
Ответ: ; .
Замена многочлена
Замена многочлена или.
Здесь − многочлен степени, т.е. выражение вида
(например, выражение - многочлен степени, то есть).
Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: или.
Пример:
Решите уравнение.
Решение:
И опять используется замена переменных.
Тогда уравнение примет вид:
Корни этого квадратного уравнения: и.
Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:
Значит, это уравнение корней не имеет.
Корни этого уравнения: и.
Ответ. .
Дробно-рациональная замена
Дробно-рациональная замена.
и − многочлены степеней и соответственно.
Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида
обычно используется замена.
Сейчас покажу, как это работает.
Легко проверить, что не является корнем этого уравнения: ведь если подставить в уравнение, получим, что противоречит условию.
Разделим уравнение на:
Перегруппируем:
Теперь делаем замену: .
Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:
Отсюда следует, что.
Вернемся к нашему уравнению:
Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.
Пример:
Решите уравнение: .
Решение:
При равенство не выполняется, поэтому. Разделим уравнение на:
Уравнение примет вид:
Его корни:
Произведем обратную замену:
Решим полученные уравнения:
Ответ: ; .
Еще пример:
Решите неравенство.
Решение:
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на:
Теперь очевидна замена переменной: .
Тогда неравенство примет вид:
Используем метод интервалов для нахождения y:
при всех, так как
при всех, так как
Значит, неравенство равносильно следующему:
при всех, так как.
Значит, неравенство равносильно следующему: .
Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:
Ответ: .
Замена переменных - один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.
Напоследок дам тебе пару важных советов :
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ.
Замена переменных - метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.
Виды замены переменной:
- Степенная замена: за принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень - .
- Дробно-рациональная замена: за принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную - , где и - многочлены степеней n и m, соответственно.
- Замена многочлена: за принимается целое выражение, содержащее неизвестное - или, где - многочлен степени.
После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.
Замена переменной в неопределенном интеграле используется при нахождении интегралов, в которых одна из функций является производной другой функции. Пусть есть интеграл $ \int f(x) dx $, сделаем замену $ x=\phi(t) $. Отметим, что функция $ \phi(t) $ является дифференцируемой, поэтому можно найти $ dx = \phi"(t) dt $.
Теперь подставляем $ \begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end{vmatrix} $ в интеграл и получаем, что:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Эта и есть формула замены переменной в неопределенном интеграле .
Алгоритм метода замены переменной
Таким образом, если в задаче задан интеграл вида: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Целесообразно выполнить замену переменной на новую: $$ t = \phi(x) $$ $$ dt = \phi"(t) dt $$
После этого интеграл будет представлен в виде, который легко взять основными методами интегрирования: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t)dt $$
Не нужно забывать также вернуть замененную переменную назад к $ x $.
Примеры решений
Пример 1 |
Найти неопределенный интеграл методом замены переменной: $$ \int e^{3x} dx $$ |
Решение |
Выполняем замену переменной в интеграле на $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt = $$ Интеграл экспоненты всё такой же по таблице интегрирования, хоть вместо $ x $ написано $ t $: $$ = \frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C $$ |
Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.
Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:
То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.
Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.
Вычислить интегралы методом замены переменой:
Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :
После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:
Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:
Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:
(Здесь (ln(cosx))’ — .)
Похожие статьи